Christian Mayr - Stability Analysis and Controller Design of Local Model Networks

Responsible Editor: Carina Reibold

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Diese Dissertation entstand whrend meiner Beschftigung als Projektassistent im Rahmen des Christian Doppler Labors fr Modellbasierte Kalibriermethoden, am Institut fr Mechanik und Mechatronik, Abteilung fr Regelungstechnik und Prozessautomatisierung unter der Leitung von Univ. Prof. Dr. Stefan Jakubek.

Insbesondere gilt mein Dank Dr. Stefan Jakubek, Dr. Martin Kozek und Dr. Christoph Hametner fr die kompetente Betreuung. Durch ihre fachkundige Untersttzung wurde diese Arbeit erst mglich.

Dank geht auch an den Projektpartner AVL List GmbH. Neben der Finanzierung dieser Arbeit mchte ich mich bei den Mitarbeitern fr die zahlreichen und interessanten Diskussionen bedanken, welche durch die hohen Ansprche und ihre Ideen diese Arbeit wesentlich beeinflusst haben.

Weiters bedanke ich mich bei meinen Kollegen am Institut, die das gute Arbeitsklima wesentlich mitgestaltet haben und fr fachliche Diskussionen jederzeit zur Verfgung standen.

Der grte Dank gilt jedoch meiner Frau Tamara fr ihre Untersttzung und ihr Verstndnis fr die Arbeit. An dieser Stelle mchte ich mich noch bei meinen Eltern bedanken, welche mir meine Ausbildung ermglicht haben und mich jederzeit untersttzt haben.

Die Forderung nach einer Reduktion der Entwicklungskosten und des Ausstoes von Kraftfahrzeugen sowie immer strenger werdende Abgasnormen fhren in der Automobilindustrie zu einer steigenden Nachfrage nach modellbasierten Kalibriermethoden. In diesem Zusammenhang sind lokale Modellnetwerke ein sehr leistungsstarkes Instrument zur nichtlinearen dynamischen Identifikation. Ihre generische Modellstruktur ist besonders dann von Vorteil, wenn physikalische Informationen des nichtlinearen Prozesses eingebracht werden knnen. Dadurch, dass diese Systemarchitektur das nichtlineare Systemverhalten mittels lokaler linearer bertragungsfunktionen approximiert, sind lokale Modellnetwzerke, im Vergleich zu anderen nichtlinearen Approximatoren, wie z. B.: Neuronale Netze oder Radiale Basisfunktionen, sehr gut fr die Reglerauslegung geeignet. Der grte Vorteil besteht darin, dass, zumindest auf lokaler Ebene, lineare Methoden zur Reglerauslegung verwendet werden knnen. Die lokale Auslegung erweist sich dabei in der Regel als gute Ausgangsbasis fr die globale, nichtlineare Auslegung.

In dieser Dissertation werden verschiedene Methoden zur Stabilittsanalyse und Reglerauslegung von lokalen Modellnetzwerken dargestellt. Fr die praktische Verwendung von lokalen Modellnetzwerken spielt die Stabilitt eine besonders wichtige Rolle. Die Untersuchung der Stabilitt von lokalen Modellnetzwerken basiert auf der direkten Methode nach Lyapunov. Aus deren Stabilittsbedingungen resultieren fr lokale Modellnetzwerke sogenannte LMIs (Linear Matrix Inequalities) welche numerisch gelst werden. Hier spielt die Konservativitt eine entscheidende Rolle, da ein Stabilittsnachweis, je nach verwendeter Lyapunov Funktion, scheitern kann obwohl das System stabil ist. Es wurden drei verschiedene Anstze untersucht und weiterentwickelt sowie Methoden entwickelt um deren Konservativitt zu verringern und quantitativ messbar zu machen.

Ein weiterer wichtiger Teil dieser Dissertation sind die Stabilittskriterien fr den geschlossenen Regelkreis. Diese verwenden dieselben Lyapunov Funktionen wie die Kriterien fr den offenen Regelkreis. Mit diesen Anstzen ist es mglich, bestehende Regler-Strecken Kombinationen auf Stabilitt zu prfen. Eine direkte Auslegung von Reglern mit garantierter Stabilitt des geschlossenen Regelkreises ist mit diesen Kriterien nicht mglich. Es ist allerdings mglich diese Kriterien zu adaptieren bzw. mit nichtlinearer Optimierung zu kombinieren um stabile State-Feedback sowie PID Regler auszulegen. Hier spielt die impliziete Konservativitt des Lyapunov Ansatzes ebenfalls eine entscheidende Rolle, da es auch hier vorkommen kann, dass ein Stabilittsnachweis scheitert, obwohl der geschlossene Regelkreis stabil ist.

Die Auslegung von stabilen State-Feedback Reglern fr lokale Modellnetzwerke basiert auf den Stabilittskriterien des geschlossenen Regelkreises. Durch auftretende Matrixmultiplikationen zwischen den lokalen Rckfhrmatrizen und der Matrix bzw. den Matrizen der Lyapunov Funktion entstehen sogenannte BMIs (Bilinear Matrix Inequalities) die von LMI Solvern nicht gelst werden knnen. Durch eine Matrixtransformation innerhalb der Matrixungleichungen ist es mglich, die BMIs in LMIs umzuwandeln, die wiederum einfach von LMI Solvern gelst werden knnen.

Der letzte Hauptteil dieser Arbeit beschftigt sich mit der PID Reglerauslegung fr lokale Modellnetzwerke. Bei nichtlinearen PID Reglern fr lokale Modellnetzwerke ist der Stabilittsnachweis bzw. die Auslegung wesentlich aufwndiger als bei Zustandsreglern. Dabei ist eine Transformation des geschlossenen Regelkreises (LMN & PID Regler) erforderlich. Die grte Herausforderung besteht jedoch bei der Reglerauslegung. Durch die begrenzte Anzahl der Reglerparameter ist die Transformation der BMIs in LMIs, wie es bei Zustandsraumreglern der Fall ist, nicht mehr mglich. Daher knnen die Matrixungleichungen bei PID Reglern nicht mit Hilfe von LMI Solvern gelst werden. Die Weiterentwicklung der ersten Solver fr BMIs wurde mittlerweile wieder eingestellt und derzeit ist kein brauchbarer Solver verfgbar. Daher werden in dieser Arbeit zwei Lsungsanstze vorgestellt. Beim ersten wird iterativ gearbeitet wobei in jedem Iterationsschritt LMIs zu lsen sind. Bei der zweiten Methode wird ein genetischer Algorithmus fr die Festlegung der PID Reglerparameter verwendet wobei fr jedes Individuum die LMIs gelst werden mssen, was einen sehr hohen Rechenaufwand darstellt. Der genetische Algorithmus lsst sich allerdings sehr gut parallelisieren wodurch beim Einsatz von modernen Mehrkernprozessoren der Zeitaufwand in Grenzen gehalten werden kann. Im Allgemeinen hat sich dieser Ansatz als sehr leistungsstark erwiesen und zeigt eine gute Konvergenz. Des Weiteren ermglicht der genetische Algorithmus die simultane Optimierung von (gegenstzlichen) Optimierungskriterien. Daher wurde dieser Ansatz erweitert, um Stabilitt und Performance des geschlossenen Regelkreises in der Optimierung zu bercksichtigen. Der Anwender erhlt mehrere gleichwertige Lsungen zur Auswahl. Theoretisch kann dieser Ansatz auch fr State-Feedback Regler verwendet werden, was allerdings nicht im Fokus dieser Arbeit stand.