Peruzzi G. - - La Nascita della Meccanica Quantistica

Indice 1 La nascita della Meccanica Quantistica. 3 1.1 Introduzione.................................. 3 1.1.1 Aree di crisi.............................. 3 1.2 Radiazione di corpo nero............................ 4 1.2.1 La legge di Planck........................... 11 1.3.1 Effetto fotoelettrico.......................... 12 1.4 Livelli energetici discreti............................ 13 1.4.1 Conteggi e spazio delle fasi...................... 15 1.5 Emissione e assorbimento: coefcienti di Einstein.............. 17 1.6 Statistica e dualit onda-particella....................... 20 1.7 Impulso del fotone.............................. 24 1.8 Impulso e sue uttuazioni........................... 27 1.8.1 Lmpulso nei processi di emissione e assorbimento.......... 31 1.9 Il problema dei calori specici......................... 34 1.10 Alcune nozioni elementari sugli spettri atomici................ 41 1.11 Modello di Bohr................................ 43 1.11.1 Motivazioni delle ipotesi di Bohr................... 45 1.11.2 Formulazione alternativa della quantizzazione delle orbite...... 50 1.11.3 Quantizzazione del momento angolare................ 51 1.11.4 Osservazioni e prime generalizzazioni................ 52 1.11.5 Lesperimento di Franck ed Hertz................... 52 1.12 Regole di quantizzazione............................ 53 1.12.1 Invarianti adiabatici.......................... 56 1.13 Moti periodici unidimensionali......................... 59 1.13.1 Esempi................................. 62 1.14 Moti quasi periodici.............................. 66 1.14.1 Invarianza adiabatica.......................... 71 1.15 Sistemi integrabili: oscillatore......................... 72 1.16 Sistemi integrabili: atomo di idrogeno..................... 76 1.17 Esperimento di Stern e Gerlach........................ 81 1.18 Conferme e smentite del modello....................... 84 1.19 Interazione luce materia............................ 87 1.19.1 Diffusione della luce e legge di dispersione.............. 89 1.19.2 Relazione di Thomas e Kuhn..................... 92 1.19.3 Principio di corrispondenza...................... 93 1.20 La transizione alla meccanica quantistica................... 94 INDICE Appendici e Complementi 99 1.A Termodinamica del corpo nero......................... 99 1.A.1 Legge di Wien............................. 102 1.A.2 Entropia e spettro........................... 107 1.B Fluttuazioni classiche del campo di radiazione................ 108 1.C Assorbimento di un oscillatore......................... 111 1.D Entropia di Sackur-Tetrode........................... 113 1.E Regole di quantizzazione............................ 114 1.E.1 Sistemi periodici unidimensionali................... 115 1.E.2 Esempi espliciti............................ 118 1.F Calcolo di alcuni integrali........................... 119 1.G Calcolo perturbativo del dipolo elettrico.................... 122 Capitolo 1 La nascita della Meccanica Quantistica. 1.1 Introduzione La nascita della meccanica quantistica nella sua forma odierna ha una fase di gestazione che si pu convenzionalmente ssare fra la data della prima comunicazione di Planck[Pla00a] in cui viene presentata la formula per la distribuzione spettrale della radiazione di corpo nero, 9 Ottobre 1900, e la stesura dellarticolo di Heisenberg[Heis25], Luglio 1925, in cui si delineano le linee guida della meccanica quantistica. 1.1 Introduzione La nascita della meccanica quantistica nella sua forma odierna ha una fase di gestazione che si pu convenzionalmente ssare fra la data della prima comunicazione di Planck[Pla00a] in cui viene presentata la formula per la distribuzione spettrale della radiazione di corpo nero, 9 Ottobre 1900, e la stesura dellarticolo di Heisenberg[Heis25], Luglio 1925, in cui si delineano le linee guida della meccanica quantistica.

Questo processo, innescato da una profonda crisi della sica classica a fronte del nuovo mondo microscopico che le tecniche sperimentali cominciavano a disvelare, ha costituito uno dei pi profondi sconvol- gimenti culturali nella storia della scienza, coinvolgendo il concetto stesso di realt sica ed imponendo un cambiamento radicale nel paradigma interpretativo della natura. In questo breve capitolo non vogliamo fare una storia di questi eventi, cosa per la quale non ci sentiamo competenti, quanto presentare nella maniera pi semplice possibile alcuni li conduttori che permettano di seguire la logica di questa evoluzione. Uno dei motivi di questa presentazione la convinzione degli autori che una compren- sione, almeno parziale, del retroterra teorico - sperimentale della meccanica quantistica possa far capire meglio alcuni concetti della teoria. Una seconda motivazione la constata- zione che levoluzione della meccanica quantistica non pu certo dirsi conclusa, quindi la conoscenza dei fondamenti su cui poggia pu aiutare a capire alcuni degli sviluppi futuri. Qualche precisazione per il lettore. 2) In questo capitolo, necessariamente, daremo per scontate moltissime cose di si- ca classica. 2) In questo capitolo, necessariamente, daremo per scontate moltissime cose di si- ca classica.

Un minimo di conoscenza della meccanica statistica pu essere uti- le. Daremo delle dimostrazioni per alcuni punti che potrebbero non far parte delle conoscenze di base del lettore. Le dimostrazioni non strettamente necessarie alla comprensione del testo saranno messe in appendice. 1.1.1 Aree di crisi. Si soliti indicare in tre questioni principali i punti di crisi della sica classica. In parole semplici: a) Il problema della radiazione del corpo nero: la teoria elettromagnetica classica non capace di spiegare il colore della luce emesso da un corpo caldo.

CAPITOLO 1. LA NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA. b) Il problema dei calori specici: secondo la meccanica statistica classica ogni grado di libert contribuisce in ugual misura al calore specico di un corpo, questo in palese contraddizione con levidenza sperimentale, come commenteremo fra breve, ed piuttosto imbarazzante da un punto di vista logico, pregurando un limite alla possibile struttura interna dei corpi (allaumentare della struttura aumentano di sicuro i gradi di libert). c) Il problema degli spettri atomici: losservazione sperimentale mostra che la luce emessa, e assorbita, dai vari elementi chimici ristretta a ben denite frequenze, caratteristiche di ogni elemento. Lo spettro, cio linsieme delle frequenze, e le sue regolarit sono incomprensibili classicamente. Bench questi problemi siano gravi, connare in questo modo la problematica una ottimistica sottovalutazione.

Quello che i dati sperimentali sempre pi precisi della se- conda met dellottocento andavano svelando era la struttura microscopica, atomica, della materia. La sica classica assolutamente incompatibile con lesistenza stessa di strutture microscopiche stabili legate da forze di tipo elettrico (le uniche conosciute allepoca), non essendo capace nemmeno di stabilire lordine di grandezza delle dimensioni atomiche. I problemi precedenti sono una conseguenza di questa situazione. Il problema fondamentale cinematico, come emerger a poco a poco nel primo quarto del novecento: non sono pre- senti forze sconosciute, sono i concetti stessi di posizione, impulso, energia a dover essere rivisti. Accanto a questi aspetti cinematici appariranno anche delle nuove forze, rivelate dalla scoperta della radioattivit, ma queste questioni avranno uninuenza marginale nella prima fase di sviluppo della teoria. Non basta.

La sica classica poggia su una dicotomia fra particelle, denite da pochi gradi di libert, ad esempio la posizione e limpulso, e campi che necessariamente hanno inniti gradi di libert: se vogliamo ad esempio conoscere levoluzione temporale di un campo elettromagnetico dobbiamo assegnarne il valore su unintera supercie. Matemati- camente questa differenza si riette nel fatto che le equazioni per il campo elettromagnetico sono equazioni alle derivate parziali, mentre le equazioni di Newton, per i supposti costi- tuenti elementari, sono equazioni ordinarie. Questo punto connesso al precedente nel senso che qualunque tentativo classico di immaginare una struttura interna agli elettroni (le uniche particelle abbastanza conosciute allepoca) era fallito, quindi questi costituenti andavano trattati come puntiformi. La coesistenza quasi pacica di queste due rappresen- tazioni del reale comincia ad entrare in conitto con lanalisi teorica ed i dati sperimen- tali, risolvendosi inne nellabbandono delle due visioni, che diventano un caso limite di rappresentazione dello stesso oggetto quantistico. Uno dei campi in cui tutte queste problematiche vengono per prime alla luce lo stu- dio della radiazione di corpo nero, ed da questo fenomeno che partiamo per la nostra presentazione. 1.2 Radiazione di corpo nero.